行列式的计算方法(含四种，看完就会！)

行列式的计算方法

前言一、对角线法二、代数余子式法三、等价转化法四、逆序数法总结

前言

提示：本文主要讲述行列式的求解方法，所以本文侧重于方法的讲解，而并非推导。主要思路为从三阶行列式举例，再过渡到高阶行列式的通用方法 。

以下是本篇文章正文内容：

一、对角线法

▍以三阶行列式为例：

D

3

=

∣

a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33

∣

D_3= \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|

D3​=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​

①将第一、二列平移到行列式右侧 ②如图做出六条斜对角线 ③对角线上的元素相乘，红色相加的和 减去 蓝色相加的和

D

3

=

D_3=

D3​=

a

11

a

22

a

33

+

a

12

a

23

a

31

+

a

13

a

21

a

32

a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}

a11​a22​a33​+a12​a23​a31​+a13​a21​a32​

−

a

13

a

22

a

31

−

a

11

a

23

a

32

−

a

12

a

21

a

33

-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}

−a13​a22​a31​−a11​a23​a32​−a12​a21​a33​

对角线法也是三阶行列式计算使用最广泛的方法

▍ 对角线法适用于二、三阶行列式，对于更高阶的行列式暂时未找到规律

二、代数余子式法

▍以三阶行列式为例：

例

：

D

3

=

∣

a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33

∣

例：D_3= \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|

例：D3​=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​

以

第

一

行

展

开

，

得

D

3

=

以第一行展开，得D_3=

以第一行展开，得D3​=

=

(

−

1

)

1

+

1

a

11

M

11

+

(

−

1

)

1

+

2

a

12

M

12

+

(

−

1

)

1

+

3

a

13

M

13

=\left( -1 \right) ^{1+1}a_{11}M_{11}+\left( -1 \right) ^{1+2}a_{12}M_{12}+\left( -1 \right) ^{1+3}a_{13}M_{13}

=(−1)1+1a11​M11​+(−1)1+2a12​M12​+(−1)1+3a13​M13​

=

a

11

∣

a

22

a

23

a

32

a

33

∣

−

a

12

∣

a

21

a

23

a

31

a

33

∣

+

a

13

∣

a

21

a

22

a

31

a

32

∣

=a_{11}\left| \begin{matrix} a_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|-a_{12}\left| \begin{matrix} a_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|+a_{13}\left| \begin{matrix} a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\\ \end{matrix} \right|

=a11​∣∣∣∣​a22​a32​​a23​a33​​∣∣∣∣​−a12​∣∣∣∣​a21​a31​​a23​a33​​∣∣∣∣​+a13​∣∣∣∣​a21​a31​​a22​a32​​∣∣∣∣​

对于任一行（列）都可进行展开

▍例n阶行列式：

D

n

=

∣

a

11

a

12

⋯

a

1

n

a

21

a

22

⋯

a

2

n

⋮

⋮

⋮

a

n

1

a

n

2

⋯

a

n

n

∣

D_n=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right|

Dn​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

以第 i 行展开:

=

(

−

1

)

i

+

1

a

i

1

M

i

1

+

(

−

1

)

i

+

2

a

i

2

M

i

2

+

⋯

+

(

−

1

)

i

+

n

a

i

n

M

i

n

=\left( -1 \right) ^{i+1}a_{i1}M_{i1}+\left( -1 \right) ^{i+2}a_{i2}M_{i2}+\cdots +\left( -1 \right) ^{i+n}a_{in}M_{in}

=(−1)i+1ai1​Mi1​+(−1)i+2ai2​Mi2​+⋯+(−1)i+nain​Min​

以第 j 列展开:

=

(

−

1

)

1

+

j

a

1

j

M

1

j

+

(

−

1

)

2

+

j

a

2

j

M

2

j

+

⋯

+

(

−

1

)

n

+

j

a

n

j

M

n

j

=\left( -1 \right) ^{1+j}a_{1j}M_{1j}+\left( -1 \right) ^{2+j}a_{2j}M_{2j}+\cdots +\left( -1 \right) ^{n+j}a_{nj}M_{nj}

=(−1)1+ja1j​M1j​+(−1)2+ja2j​M2j​+⋯+(−1)n+janj​Mnj​

例

：

∣

0

1

0

2

15

3

1

41

2

∣

=

(

−

1

)

1

+

2

∣

3

2

2

1

∣

=

1

例： \left| \begin{matrix} 0& 1& 0\\ 2& 15& 3\\ 1& 41& 2\\ \end{matrix} \right|=\left( -1 \right) ^{1+2}\left| \begin{matrix} 3& 2\\ 2& 1\\ \end{matrix} \right|=1

例：∣∣∣∣∣∣​021​11541​032​∣∣∣∣∣∣​=(−1)1+2∣∣∣∣​32​21​∣∣∣∣​=1

本例中，利用代数余子式法能够简便运算

三、等价转化法

①行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变

②行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

转化法的核心思想是将行列式转化成上三角行列式

直接举例：

D

4

=

∣

3

1

1

1

1

3

1

1

1

1

3

1

1

1

1

3

∣

D_4=\left| \begin{matrix} 3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|

D4​=∣∣∣∣∣∣∣∣​3111​1311​1131​1113​∣∣∣∣∣∣∣∣​

∣

3

1

1

1

1

3

1

1

1

1

3

1

1

1

1

3

∣

=

r

1

+

r

2

+

r

3

+

r

4

∣

6

6

6

6

1

3

1

1

1

1

3

1

1

1

1

3

∣

=

r

1

÷

6

6

∣

1

1

1

1

1

3

1

1

1

1

3

1

1

1

1

3

∣

\left| \begin{matrix} 3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_1+r_2+r_3+r_4}\left| \begin{matrix} 6& 6& 6& 6\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_1\div 6}6\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|

∣∣∣∣∣∣∣∣​3111​1311​1131​1113​∣∣∣∣∣∣∣∣​r1​+r2​+r3​+r4​

∣∣∣∣∣∣∣∣​6111​6311​6131​6113​∣∣∣∣∣∣∣∣​r1​÷6

6∣∣∣∣∣∣∣∣​1111​1311​1131​1113​∣∣∣∣∣∣∣∣​

=

r

2

−

r

1

,

r

3

−

r

1

,

r

4

−

r

1

6

∣

1

1

1

1

0

2

0

0

0

0

2

0

0

0

0

2

∣

=

6

×

1

×

2

×

2

×

2

=

48

\xlongequal{r_2-r_1,r_3-r_1,r_4-r_1}6\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 2\\ \end{matrix} \right|=6\times1\times 2\times 2\times 2=48

r2​−r1​,r3​−r1​,r4​−r1​

6∣∣∣∣∣∣∣∣​1000​1200​1020​1002​∣∣∣∣∣∣∣∣​=6×1×2×2×2=48

四、逆序数法

▍以三阶行列式为例

D

3

=

∣

a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33

∣

=

∑

(

−

1

)

t

a

1

p

1

a

2

p

2

a

3

p

3

D_3=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right| =\sum{\left( -1 \right) ^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}}

D3​=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=∑(−1)ta1p1​​a2p2​​a3p3​​

t

为排列

p

1

p

2

p

3

的逆序数

t\text{为排列 }p_1p_2p_3\ \text{的逆序数}

t为排列 p1​p2​p3​ 的逆序数

其

中

p

1

、

p

2

、

p

3

≤3，且各不相同

其中p_1\text{、}p_2\text{、}p_3\text{≤3，且各不相同}

其中p1​、p2​、p3​≤3，且各不相同

▍对于n阶行列式：

D

n

=

∣

a

11

a

12

⋯

a

1

n

a

21

a

22

⋯

a

2

n

⋮

⋮

⋮

a

n

1

a

n

2

⋯

a

n

n

∣

D_n=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right|

Dn​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

=

∑

(

−

1

)

t

a

1

p

1

a

2

p

2

⋯

a

n

p

n

=\sum{\left( -1 \right) ^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}}

=∑(−1)ta1p1​​a2p2​​⋯anpn​​

t

为排列

p

1

p

2

⋯

p

n

的逆序数

t\text{为排列 }p_1p_2\cdots p_n\ \text{的逆序数}

t为排列 p1​p2​⋯pn​ 的逆序数

其

中

p

1

、

p

2

⋯

p

n

≤n，且各不相同

其中p_1\text{、}p_2\cdots p_n\text{≤n，且各不相同}

其中p1​、p2​⋯pn​≤n，且各不相同

前三种方法的本质其实都是逆序数法，逆序数法也是行列式求解最基础的方法，但使用起来更加复杂

总结

本文讲述了四种行列式的计算方法：

▍其中对角线法，是使用最简单、最广泛的方法

▍代数余子式法和等价转化法，在特定情况下能极大程度上简便运算，但需要读者对行列式进行灵活地观察

▍逆序数法，是一种更加基础的方法，使用起来比较复杂

提示：以上是本人关于行列式学习的体会，若有错误，欢迎大家批评和交流(*^▽ ^*)/